### 6.21.3 Somme indicée finie et infinie et primitive discrète : sum

sum a deux, trois, quatre ou cinq arguments :

- Avec 3 ou 5 arguments
  sum(Xpr,Var=a..b,p) ou sum(Xpr,Var,a,b,p)renvoie la somme demandée c’est à dire renvoie la somme des valeurs de l’expression Xpr quand la variable Var va de a à b avec un pas égal à p.
  On tape :
  sum(x`^`2+1,x=1..5,1)
  Ou on tape :
  sum(x`^`2+1,x,1,5,1)
  Ou on tape :
  sum(x`^`2+1,x,5..1,-1)
  Ou on tape :
  sum(x`^`2+1,x,5,1,-1)
  Ou on tape :
  sum(x`^`2+1,x,5,1,1)
  Ou on tape :
  sum(x`^`2+1,x,1,5)
  On obtient :
  60
  En effet :
  2+5+10+17+26=60
  On tape :
  sum(x`^`2+1,x=1..5,2)
  Ou on tape :
  sum(x`^`2+1,x,1,5,2)
  On obtient :
  38
  En effet :
  2+10+26=38
- Avec 2 ou 4 arguments, sum(Xpr,Var,a,b) ou sum(Xpr,Var=a..b) n’a pas la même valeur selon que a est plus petit ou égal à b ou non, car on veut avoir l’égalité :
  sum(Xpr,Var,a,b)=sum(Xpr,Var,a,c)+sum(Xpr,Var,c+1,b).
  Aussi, lorsque le pas p n’est pas précisé on a :
  - si a est inférieur à b,
    sum(Xpr,Var,a,b) renvoie la somme des valeurs de l’expression Xpr quand la variable Var va de a à b avec un pas de 1 : cette syntaxe est compatible avec Maple.
    Ainsi si a<= b on a :
    sum(Xpr,Var,a,b)=sum(Xpr,Var,a,b,1).
    On tape :
    sum(x`^`2+1,x,1,5)
    Ou on tape :
    sum(x`^`2+1,x=1..5)
    On obtient :
    60
    En effet :
    2+5+10+17+26=60
  - si a est supérieur à b+1,
    sum(Xpr,Var,a,b) renvoie l’opposé de la somme des valeurs de l’expression Xpr quand la variable Var va de b+1 à a-1 avec un pas de 1 : cette syntaxe est compatible avec Maple.
    On tape :
    sum(x`^`2+1,x,5,1)
    On obtient :
    -32
    En effet :
    −(5+10+17)=−32 Attention on n’obtient pas la même chose si on précise le pas (avec p=1 ou p=−1)
    On tape :
    sum(x`^`2+1,x,5,1,-1)
    Ou on tape :
    sum(x`^`2+1,x,5,1,1)
    On obtient :
    60
    Car on a :
    2+5+10+17+26=60
    On tape :
    sum(x`^`2+1,x,4,1)
    On obtient :
    -15
    En effet :
    −(5+10)=−15
  - si a est égal à b+1,
    sum(Xpr,Var,b+1,b) renvoie 0.
    On tape :
    sum(x`^`2+1,x,5,4)
    Ou on tape :
    sum(x`^`2+1,x=5..4)
    On obtient :
    0
- si sum a deux arguments :
  sum a comme premier argument une expression (par exemple f(x)) d’une variable (par exemple x) qui est donnée comme deuxième argument.
  sum renvoie la primitive discrète de cette expression, c’est à dire la fonction G verifiant G(x+1)−G(x)=f(x).
  On tape :
  sum(x,x)
  On obtient :
  (x`^`2-x)/2
  Donc :
  4+5+...19=(20`^`2−20)/2−(4`^`2−4)/2=190−6=184 On tape :
  sum(1/(x*(x+1)),x)
  On obtient :
  -1/x
  On tape :
  sum(cos(p*x),p)
  On obtient :
  (-cos(p*x)*cos(x)+cos(p*x)-sin(p*x)*sin(x))/(2*cos(x)-2)

Autes Exemples
On tape :

sum(k,k,2,6)

On obtient :

20

On tape :

sum(k,k,7,2)

On obtient :

-18

On tape :

sum(k,k,3,2)

On obtient :

0

On tape :

sum(1,k,-2,n)

On obtient :

n+1+2

On tape :

normal(sum(2*k-1,k,1,n))

On obtient :

n`^`2

On tape :

sum(1/(n`^`2),n,1,10)

On obtient :

1968329/1270080

On tape :

sum(1/(n`^`2),n,1,+(infinity))

On obtient :

pi`^`2/6

On tape :

sum((-1)`^`n/(2*n+1)!,n,0,+(infinity))

On obtient :

sin(1))

On tape :

sum(1/(3*n)!,n,0,+(infinity))

On obtient :

(2*cos((sqrt(3))/2)*exp(1/-2)+exp(1))/3

On tape :

sum(1/(n*2`^`n),n,1,+(infinity))

On obtient :

-(ln(1/2))

On tape :

sum((-1)`^`n/(2*n+1),n,0,+(infinity))

On obtient :

pi/4

On tape :

assume(x>0 && x<1);
sum(x`^`(2*n)/(2*n+1),n,0,+(infinity))

On obtient :

x,(-ln(-x+1)+ln(x+1))/(2*x)

On tape :

sum(1/(n`^`3-n),n,2,10)

On obtient :

27/110

On tape :

sum(1/(n`^`3-n),n,1,+(infinity))

On obtient :

1/4

Pour justifier ce résultat on décompose 1/(n`^`3-n), on tape :

partfrac(1/(n`^`3-n))

On obtient :

1/(2*(n+1))-1/n+1/(2*(n-1))

Donc quand on fait la somme de 2 à N on a :
∑n=2N −1/n=−∑n=1N−1 1/n+1=−1/2−∑n=2N−2 1/n+1−1/N
1/2*∑n=2N 1/n−1=1/2*(∑n=0N−2 1/n+1)=1/2*(1+1/2+∑n=2N−21/n+1)
1/2*∑n=2N 1/n+1=1/2*(∑n=2N−2 1/n+1+1/N+1/N+1)
les termes ∑n=2N−2 se détruisent et il reste :
−1/2+1/2*(1+1/2)−1/N+1/2*(1/N+1/N+1)=1/4−1/2N(N+1)
d’ou les résultat précédents :
- pour N=10 la somme vaut : 1/4−1/220=27/110
- pour N=+∞ la somme vaut : 1/4 car 1/2N(N+1) tend vers zéro quand N tend vers l’infini.