### 6.56.5 Norme : COND cond

COND ou cond a a deux arguments : une matrice A inversible et 1 ou 2 ou inf et par défaut 1.
COND renvoie le nombre de condition de cette matrice A c’est à dire :
||| A|| *||| A−1||| où ||| ||| désigne la norme triple d’une matrice inversible qui est subordonnée à l1 (resp l2 ou l∞) si il n’y a pas de second argument ou si le second argument est 1 (resp 2 ou inf) On a donc :
COND(A) ou cond(A) ou cond(A,1) renvoie le nombre de condition de A pour la norme l1,
COND(A,2) ou cond(A,2) renvoie le nombre de condition de A pour la norme l2.
COND(A,inf) ou cond(A,inf) renvoie le nombre de condition de A pour la norme l∞.

- La norme triple de la matrice A subordonnée à l1 est colnorm qui est :
  max(sum(abs(A[j,k]),j=0..size(A)-1)$(k=0..size(A)-1)) i.e. le maximum des sommes des valeurs absolues des éléments situés sur les colonnes de la matrice.
  COND(A) ou cond(A) ou cond(A,1) renvoie donc :
  colnorm(A)*colnorm(inv(A)).
- La norme triple de la matrice A subordonnée à l2 est max(SVL(A)) :
  c’est la plus grande valeur singulière de A i.e la plus grande valeur de la racine carrée des valeurs propres de A*trn(A).
  COND(A,2) ou cond(A,2) renvoie donc :
  max(SVL(A))*max(SVL(inv(A)))
- La norme triple de la matrice A subordonnée à l∞ est rownorm qui est :
  max(sum(abs(A[j,k]),k=0..size(A)-1)$(j=0..size(A)-1)) i.e. le maximum des sommes des valeurs absolues des éléments situés sur les lignes de la matrice.
  COND(A,inf) ou cond(A,inf) renvoie donc :
  rownorm(A)*rownorm(inv(A)).

On tape :

COND([[1,2,3],[3,-9,6],[4,5,6]])

On obtient :

27.8518518519

En effet, si B:=[[1,2,3],[3,-9,6],[4,5,6]] on tape :
colnorm(B),colnorm(inv(B)),colnorm(B)*colnorm(inv(B))
On obtient :
16,47/27,752/27 et 752/27≃27.8518518519
On tape :

COND([[1,2,3],[3,-9,6],[4,5,6]],2)

On obtient :

14.807741389

En effet, si B:=[[1,2,3],[3,-9,6],[4,5,6]] on tape :
max(SVL(B)),max(SVL(inv(B))),max(SVL(B))*max(SVL(inv(B)))
On obtient :
11.2449175989,1.31683858585,14.807741389
On tape :

COND([[1,2,3],[3,-9,6],[4,5,6]],inf)

On obtient :

28

En effet, si B:=[[1,2,3],[3,-9,6],[4,5,6]] on tape :
rownorm(B),rownorm(inv(B)),rownorm(B)*rownorm(inv(B))
On obtient :
18,14/9,28