### 10.8.15 Point sur un objet géométrique : element

element peut avoir différents types d’arguments :

- un intervalle a..b et deux réels la valeur et le pas (par défaut la valeur vaut (a+b)/2 et le pas (b−a)/100), par exemple, t:=element(0..pi) ou t:=element(0..pi,pi/2) ou t:=element(0..pi,pi/2,pi/100.0) signifie que t peut prendre une valeur quelconque de l’intervalle [0;π] et le deuxième argument π/2 donne la valeur qui définit t : cela a pour effet d’avoir en haut et à droite un curseur noté t que l’on peut faire bouger à la souris de 0 à π, avec à gauche de ce curseur un nombre égal à la valeur de t du curseur.
- un objet géométrique et un réel (par défaut ce réel vaut 1/2), par exemple, A:=element(cercle(0,2),1) signifie que A se trouve sur le cercle de centre 0 et de rayon 2 et a comme affixe 2*exp(i) (car 2*exp(i*t) est l’équation paramétrique du cercle(0,2) et le deuxième argument 1 donne la valeur du paramètre t pour définir A). Par exemple, A:=element(cercle(0,1)) signifie que A se trouve sur le cercle de centre 0 et de rayon 1, le point A sera tracé en prenant t=1/2 comme valeur du paramètre de l’équation paramétrique de l’objet géométrique (ici affixe(A)= 2*exp(i/2)). Lorsque ensuite on déplacera A avec la souris, A se déplacera sur l’objet géométrique.
- un objet géométrique et un nom de variable (par exemple t) défini auparavant par la commande element : par exemple t:=element(0..pi). Si on tape A:=element(cercle(0,2),t), alors t est la variable de paramétrage de l’obget géométrique défini par le premier argument, c’est à dire que A se trouve sur le cercle de centre 0 et de rayon 2 et que A a comme affixe 2*exp(i*t), car 2*exp(i*t) est l’équation paramétrique du cercle(0,2). Il est donc obligatoire dans ce cas de définir auparavant le deuxième argument (ici t) comme étant l’élément d’un intervalle.
  On tape par exemple:
  t:=element(0..pi)
  puis
  A:=element(cercle(0,2),t)
  cela a pour effet d’avoir en haut et à droite un curseur noté t que l’on peut faire bouger à la souris de 0 à π, avec à gauche de ce curseur un nombre égal à la valeur de t du curseur. Ce curseur permet de faire bouger le point A sur le demi-cercle supérieur du cercle de centre 0 et de rayon 1 (car 0≤ t ≤ π) et cela sans tracer ce demi-cercle. On tape par exemple:
  A:=point(1);B:=point(2+i)
  t:=element(0..2)
  puis
  M:=element(droite(A,B),t)
  M est un point de la droite AB et on a M=A+t*(B-A) c’est à dire M=(1-t)*A+t*B pout parcourir le segment AB , il faut mettre t:=element(0..1) ou encore M:=element(segment(A,B),t) qui aura pour effet de laisser M en A si t<0 et de laisser M en B si t>1.
- une ligne polygonale LP et [floor(t),frac(t)] avec t défini auparavant par la commande element : par exemple t:=element(0..5) si LP a 5 côtés.
  Les côtés de la ligne polygonale LP ont comme numèro : 0,1....
  Si par exemple LP a 5 côtés et a pour sommets A(0),...A(4),A(5)=A(0), on tapera :
  t:=element(0..5)
  M:=element(LP,[floor(t),frac(t)])
  Ainsi selon les valeurs de t, M va parcourir les 5 côtés de LP : M sera situé sur le côté de numéro n=floor(t) et on aura M=frac(t)*A(n)+(1-frac(t))*A(n+1).
  Par exemple :

      A:=point(0);
      B:=point(4);
      C:=point(4*i);
      t:=element(0..3);
      T:=triangle(A,B,C);
      M:=element(T,[floor(t),frac(t)]);

Attention Si à un point M d’affixe m, défini comme élément d’une courbe C, on ajoute un complexe a, cela définit un point N de la courbe C qui est le projeté du point d’affixe m+a sur C.
Par contre si un point M d’affixe m, défini comme élément d’une courbe C, on ajoute un point A d’affixe a, cela définit un point P d’affixe m+a Par exemple, étant donné 3 points M,A,B, si on veut définir le point N vérifiant par exemple : MN=AB, on peut taper : N:=M+(B-A) à condition que M ne soit pas défini comme élément d’une courbe C. En effet si on a tapé M:=element(C) il faut définir N en tapant : N:=affixe(M)+B-A ou N:=M+B-A (sans parenthèses) car N:=M+B-A est interprété en N:=(M+B)-A car il n’y a pas de règle de priorité entre + et - alors que
M+(B-A) renvoie un élément de la courbe C qui est le projeté de N sur C.
On a donc, si on tape :
A:=point(-2,2);B:=point(1,3);C:=cercle(0,1);
M:=element(C);N:=affixe(M)+B-A;(ou N:=M+B-A;) N n’est pas sur la courbe C
si on tape :
P:=M+(B-A) (ou P:=projection(C,N);) P est sur la courbe C