### 6.14.25 Éliminer une (ou des) variable(s) dans une liste d’équations : eliminate

eliminate permet d’éliminer une ou plusieurs variables dans une liste d’équations algébriques, équations algébriques qui sont verifiées par plusieurs variables.
eliminate a 2 arguments :
une liste d’équations L1 et
la variable ou la liste des variables à éliminer.
eliminate renvoie la liste L2 des équations qui sont vérifiées par les variables non éliminées et pour lesquelles =0 est sous entendu.
On tape :

eliminate([x=v0*t,y=y0-g*t`^`2],t)

On obtient si la variable t n’est pas affectée et si les autres variables ne sont pas affectées (si les autres variables sont affectées, elles sont remplacées par leur valeurs ce qui modifie le résultat) :

[x`^`2*g-v0`^`2*y0+v0`^`2*y]

On tape :

eliminate([x=2*t,y=1-10*t`^`2,z=x+y-t],t)

On obtient si la variable t n’est pas affectée et si les variables x,y,z ne sont pas affectées :

[x+2*y-2*z,-10*y`^`2+20*y*z-y-10*z`^`2+1]

On tape :

eliminate([x+y+z+t-2,x*y*t=1,x`^`2+t`^`2=z`^`2],[x,z])

On obtient si les variables x et z ne sont pas affectées et si les autres variables ne sont pas affectées (si les autres variables sont affectées, elles sont remplacées par leur valeurs ce qui modifie le résultat) :

[y`^`3*t+2*y`^`2*t`^`2-4*y`^`2*t-4*y*t`^`2+4*y*t+2*y+2*t-4]

Attention
Si la réponse est [1] ou [-1], cela veut dire que la ou les variables ne peuvent pas être élinminées.
Si la réponse est [], cela veut dire que certaines équations déterminent les valeurs des variables à éliminer et que ces valeurs vérifient toutes les équations.
On tape :

x:=2;y:=-5
eliminate([x=2*t,y=1-10*t`^`2],t)

On obtient si la variable t n’est pas affectée :

[1]

On ne peut donc pas éliminer t des deux équations :
2=2t,−5=1−10t2.
On tape :

x:=2;y:=-9
eliminate([x=2*t,y=1-10*t`^`2],t)

On obtient si la variable t n’est pas affectée :

[]

En effet la première équation :
2=2t donne t=1 et t=1 vérifie la deuxième équation −9=1−10t2.
On tape :

x:=2;y:=-9
eliminate([x=2*t,y=1-10*t`^`2,z=x+y-t],t)

On obtient si la variable t n’est pas affectée :

[z+8]

En effet la première équation :
2=2t donne t=1, t=1 vérifie la deuxième équation −9=1−10t2 et il reste la troisième équation z=2−9−1=−8 soit z+8=0.