### 6.60.7 Réduction d’une conique : conique_reduite reduced_conic

conique_reduite a un ou deux arguments : l’expression d’une conique et le vecteur de composantes les variables utilisées si il est différent de [x,y].
conique_reduite renvoie une liste d’éléments :

- l’origine de la conique,
- la matrice d’un repère dans lequel la conique est réduite,
- 0 ou 1 pour savoir si la conique est dégénérée ou pas,
- l’équation réduite de la conique dans ce repère,
- un vecteur contenant son équation paramétrique ou ses équations paramétriques lorsque la conique est composée de plusieurs nappes.

On tape :

conique_reduite(2*x`^`2+2*x*y+2*y`^`2+5*x+3,[x,y])

On obtient :

[[-5/3,5/6],[[-1/(sqrt(2)),1/(sqrt(2))],[-1/(sqrt(2)), -1/(sqrt(2))]],1,3*x`^`2+y`^`2+-7/6,[[(-10+5*i)/6+(1/(sqrt(2))+ (i)/(sqrt(2)))*((sqrt(14)*cos(‘ t‘))/6+ ((i)*sqrt(42)*sin(t))/6),t,0,2*pi,(2*pi)/60]]]

La conique n’est pas dégénérée et a pour équation réduite :

3x2+y2−7/6=0

dans le repère d’origine −5/3+5*i/6 et d’axes parallèles aux vecteurs (−1,1) et (−1,−1).
Son équation paramétrique est :

−10+5*i
6
| + |
(1+i)
√ |
2
| * |
( | √ |
14
| *cos(t)+i* | √ |
42
| *sin(t))
6

et pour le dessin, le paramètre t varie de 0 à 2π avec un pas tstep=2π/60.

Remarque :
Lorsque la conique est dégénérée en 1 ou 2 droite(s), chaque droite n’est pas donné par son équation paramétrique mais par la liste constituée par un vecteur normal à la droite et un point de la droite.
On tape :

conique_reduite(x`^`2-y`^`2+3*x+y+2)

On obtient :

[[(-3)/2,1/2],[[1,0],[0,1]],0,x`^`2-y`^`2, [[(-1+2*i)/(1-i),(1+2*i)/(1-i)], [(-1+2*i)/(1-i),(-1)/(1-i)]]]

On obtient :
(2*sqrt(5*23297`^`2*126757`^`*21302293`^`2))/62906903119301897
Soit :
2*sqrt(5)
On tape :
H1:=projection(D1,M)
longueur(M,F1)/longueur(M,H1)
On obtient :
(2`^`14*3*13*17*89*311*521*563*769*2609*
sqrt(2*3*49409`^`2*112249`^`2*126757`^`2*
21302293`^`2*568000439`^`2*6789838247809`^`2))/
(2`^`14*3`^`2*13*17*89*311*521*563*769*
2609*49409*112249*126757*21302293*568000439*6789838247809)
Soit :
(sqrt(6))/3