### 6.54.1 La commande Xcas : simplex_reduce

Cas le plus simple
La fonction simplex_reduce effectue la réduction par l’algorithme du simplexe pour trouver :

max(c.x) avec A.x ≤ b, x ≥ 0, b≥ 0

où c,x sont des vecteurs de ℝn, b≥ 0 est un vecteur de ℝp et A est une matrice de p lignes et de n colonnes.

simplex_reduce a comme argument A,b,c et renvoie max(c.x), la solution augmentée de x et la matrice réduite.
Exemple
Chercher

max(X+2Y) lorsque | ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
(X,Y) | ≥ | 0
−3X +2Y | ≤ | 3
X +Y | ≤ | 4

On tape :

simplex_reduce([[-3,2],[1,1]],[3,4],[1,2])

On obtient :

7,[1,3,0,0],[[0,1,1/5,3/5,3],[1,0,(-1)/5,2/5,1], [0,0,1/5,8/5,7]]

Ce qui veut dire que le maximum de X+2Y sous ces conditions est 7, il est obtenu pour X=1,Y=3 car [1,3,0,0] est la solution augmentée et la matrice réduite est :
[[0,1,1/5,3/5,3],[1,0,(-1)/5,2/5,1], [0,0,1/5,8/5,7]].

Un cas plus compliqué qui se ramène au cas simple
simplex_reduce oblige à réécrire les contraintes impliquant une seule variable pour qu’elles soient sous la forme xk ≥ 0, puis à éliminer les variables sans contraintes puis à ajouter des variables afin d’avoir comme contraintes : toutes les composantes des éléments du simplexe sont positives. Par exemple, si on part du problème :

min(2x+y−z+4) lorsque | ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ |
x | ≤ | 1
y | ≥ | 2
x+3y−z | = | 2
2x−y+z | ≤ | 8
−x+y | ≤ | 5
|  | (1)

on pose x=1−X, y=Y+2, z=5−X+3Y le problème devient chercher le minimum de (−2X+Y−(5−X+3Y)+8) lorsque

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
X | ≥ | 0
Y | ≥ | 0
2(1−X)−(Y+2)+ 5−X+3Y | ≤ | 8
−(1−X) +(Y+2) | ≤ | 5

donc chercher le minimum de :

(−X−2Y+3) lorsque | ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
X | ≥ | 0
Y | ≥ | 0
−3X+2Y | ≤ | 3
X +Y | ≤ | 4

ce qui revient à chercher le maximum de −(−X−2Y+3)=X+2Y−3 sous les mêmes conditions, on est donc ramené au problème précédent (le maximum est donc de 7-3=4).

Cas général
Tous les cas ne se ramènent pas directement au cas simple ci-dessus. On verra plus loin comment les traiter, cela nécessitera d’utiliser une autre forme d’appel de simplex_reduce, que l’on peut d’ailleurs aussi utiliser dans le cas simple de la manière suivante : si A a p lignes et n colonnes et si on définit :

B:=augment(A,idn(p)); C:=border(B,b);
d:=append(-c,0$(p+1)); D:=augment(C,[d]);

simplex_reduce accepte aussi en argument D.
Pour l’exemple précédent, on tape :

A:=[[-3,2],[1,1]];B:=augment(A,idn(2)); C:=border(B,[3,4]); D:=augment(C,[[-1,-2,0,0,0]])

On a C=[[-3,2,1,0,3],[1,1,0,1,4]]
et D=[[-3,2,1,0,3],[1,1,0,1,4],[-1,-2,0,0,0]]
On tape :

simplex_reduce(D)

On obtient le même résultat que précédemment.