### 6.37.4 Développement de Taylor d’une fonction de plusieurs variables : series taylor

On peut avoir le développement de Taylor d’ordre p d’une fonction f(x1,..xn) au voisinage de a1,..an avec series. Pour avoir le développement de Taylor d’ordre p d’une fonction f(x1,..xn) au voisinage de a1,..an avec taylor on se ramène à une variable en posant :
xj=aj+ht pour j=1..n et
en définissant la fonction :
g(t)=f(a1+h1*t,...an+hn*t).
On a alors :
g(1)−g(0)=f(a1+h1,...an+hn)−f(a1,...an)
On développe g à l’ordre p au voisinage de t=0.
On transforme ce développement en un polynôme puis on remplace t par 1 et hj par xj−aj. Il faut ensuite rajouter le reste.
Dans ce cas les 2 commandes series et taylor sont utilisables.
Prenons comme exemple le développement à l’ordre 3 de la fonction de 2 variables f(x,y)=y2/x3 au voisinage de (1,−1).
On tape :
f(x,y):=y`^`2/x`^`3
series(f(x,y),[x,y],[1,-1],3)
On obtient :
1-2*(y+1)-3*(x-1)+(y+1)`^`2+6*(x-1)*(y+1)+6*(x-1)`^`2-3*(x-1)*(y+1)`^`2-12*(x-1)`^`2*(y+1)-10*(x-1)`^`3
Ou bien on tape :
g(t):=f(1+h*t,-1+k*t)
series(g(t),t=0,3,polynom)(t=1) ou
taylor(g(t),t=0,3,polynom)(t=1)
On obtient une expression de h et k où h=x−1 et k=y+1.
:
1-3*h-2*k+6*h`^`2+k`^`2+6*h*k-10*h`^`3-3*h*k`^`2-12*h`^`2*k
On tape :
(1-3*h-2*k+6*h`^`2+k`^`2+6*h*k-10*h`^`3-3*h*k`^`2-12*h`^`2*k)(h=x-1,k=y+1])
On obtient le premier résultat :
1+1-2*y-3*x+1-4*y+y`^`2-6*x+6*x*y+6*x`^`2+1-6*y+3*y`^`2- 9*x+18*x*y-3*x*y`^`2+18*x`^`2-12*x`^`2*y-10*x`^`3
Il faut dans les 2 cas rajouter le reste qui vaut :
(h2+k2)3/2*є(h,k) avec є(h,k)−>0 quand h2+k2−>0