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# Chapitre 9 Un exemple traité avec un programme iteratif puis récursif

## 9.1 La suite des triangles semblables à ABC

### 9.1.1 Avec un programme iteratif

À partir d’un triangle `ABC`, on trace le triangle `ACC1` semblable au triangle `ABC`. Puis, on recommence le même processus avec le triangle `ACC1` on obtient le triangle `AC1C2` etc... Écrire un programme `Xcas` qui déssine la suite des `n` triangles :
`ACC1`, `AC1C2`,...`AC(n-1)Cn`.
On dessine tout d’abord le triangle `ABC`, puis on utilise une boucle qui calcule à chaque étape le nouveau point `B` (l’ancien point `C`) et le nouveau point `C` (celui obtenu dans la similitude de centre `A` de rapport `k:=longueur(A,C)/longueur(A,B)` et d’angle `t:=angle(A,B,C)`).
Attention
On ne suppose rien sur le triangle `ABC` car `t:=angle(A,B,C)` renvoie la mesure de l’angle oriené `(→``AB``,→``AC``)`.
On tape :

    //a partir d'un triangle ABC on trace son semblable
    //sur AC etc...
    //k=rapport et t=angle de la similitude
    //n=nombre de triangles a construire
    spirale(A,B,C,n):={
    local k,t,j,L;
    L:=triangle(A,B,C);
    k:=longueur(A,C)/longueur(A,B);
    t:=angle(A,B,C);
    for (j:=1;j<=n;j++){
     B:=C;
     C:=similitude(A,k,t,B);
     L:=L,triangle(A,B,C);
     }
     retourne L;
    }:;

On clique sur 3 points `ABC`, puis on tape :
`spirale(A,B,C,5)`
On obtient la suite de 6 triangles :
On peut écrire un programme légèrement diffèrent pour ne pas faire deux fois le même trait.
On trace le triangle `ABC` puis on ne trace dans la boucle que les 2 segments qui vont définir le nouveau triangle :

    //meme dessin que spirale(A,B,C,n)
    //mais sans repasser sur le meme trait
    spirales(A,B,C,n):={
    local k,t,L;
    L:=triangle(A,B,C);
    k:=longueur(A,C)/longueur(A,B);
    t:=angle(A,B,C);
    for (j:=1;j<=n;j++){
     B:=C;
     C:=similitude(A,k,t,B);
     L:=L,segment(B,C),segment(A,C);
    }
    retourne L;
    }:;

### 9.1.2 Avec un programme récursif

On peut voir la récusivité de 2 façons :
1/ la procédure récursive `spiraler(A,B,C,n)`
`spiraler(A,B,C,0)` est le triangle(A,B,C) et
si n>0, `spiraler(A,B,C,n)` est formé du triangle(A,B,C) et de
`spiraler(A,C,C1,n-1)` avec `C1=similitude(A,k,t,C)`.
On écrit donc :

    //Le dessin obtenu a partir d'un triangle ABC peut
    //etre decrit de facon recursive si on a C=similitude(A,k,t,B),
    //soit  C1=similitude(A,k,t,C) :
    //spiraler(A,B,C,0)=triangle(A,B,C)
    // si n>0, spiraler(A,B,C,n)=triangle(A,B,C) puis
    //spiraler(A,C,C1,n-1)
    //n=nombre de triangles a construire=nombre d'appels recursifs
    spiraler(A,B,C,n):={
    local k,t,L;
    k:=longueur(A,C)/longueur(A,B);
    t:=angle(A,B,C);
    if (n>0) {
     L:=triangle(A,B,C);
     B:=C;
     C:=similitude(A,k,t,B);
     L:=L,spiraler(A,B,C,n-1);
       } else
     L:=triangle(A,B,C);
     retourne L;
    }:;

On peut écrire un programme légèrement diffèrent pour ne pas faire deux fois le même trait.
`spiralers(A,B,C,0)` c’est le triangle(A,B,C) si n>0, `spiralers(A,B,C,n)` est formé du segment(A,B), du segment(B,C) et de `spiralers(A,C,C1,n-1)` si `C1=similitude(A,k,t,C)`.
On écrit donc :

    //meme dessin que spiraler(A,B,C,n)
    //mais sans repasser sur le meme trait
    //si on a C=similitude(A,k,t,B), soit  C1=similitude(A,k,t,C)
    //spiralers(A,B,C,0)=triangle(A,B,C) et si n>0,
    //spiralers(A,B,C,n)=segment AB et BC puis spiralers(A,C,C1,n-1)
    spiralers(A,B,C,n):={
    local k,t,L;
    k:=longueur(A,C)/longueur(A,B);
    t:=angle(A,B,C);
    if (n>0) {
     L:=segment(A,B),segment(B,C);
     B:=C;
     C:=similitude(A,k,t,B);
     L:=L,spiralers(A,B,C,n-1);
       } else
     L:=L,triangle(A,B,C);
     retourne L;
    }:;

2/ la procédure récursive `spiraler1s(A,B,C,n)` commence à dessiner la spirale par la fin...
`spiraler1s(A,B,C,0)` c’est le triangle(A,B,C) et
si n>0, `spiraler1s(A,B,C,n)` est formé du triangle(A,C(n-1),Cn) (ou des segments C(n-1)Cn et ACn si on ne veut pas repasser sur le même trait) et
de `spiraler1s(A,B,C,n-1)` si `C(n-1)=similitude(A,k```^```n,n*t,B)` et `Cn=similitude(A,k```^```n,n*t,C)=similitude(A,k,t,C(n-1))`.

    //meme dessin que spiraler(A,B,C,n) mais autre facon de voir
    //la recursivite spiraler1(A,B,C,0)=triangle(A,B,C) si n>0,
    //spiraler1(A,B,C,n)=dernier triangle AMN et spiraler1(A,B,C,n-1)
    //sans repasser sur le meme trait :
    //spiraler1s(A,B,C,0)=triangle(A,B,C) et si n>0,
    //spiraler1s(A,B,C,n)=segments AN et MN et spiraler1s(A,B,C,n-1)
    spiraler1s(A,B,C,n):={
    local k,t,L;
    k:=longueur(A,C)/longueur(A,B);
    t:=angle(A,B,C);
    if (n>0) {
     M:=similitude(A,k^n,n*t,B);
     N:=similitude(A,k,t,M);
     L:=segment(M,N),segment(A,N);
     L:=L,spiraler1s(A,B,C,n-1);
       } else
     L:=triangle(A,B,C);
    }:;

## 9.2 La double suite des triangles semblables à ABC

À partir d’un triangle `ABC`, on trace le triangle `ACC1` semblable au triangle `ABC`. Puis, on recommence le même processus avec le triangle `ACC1` on obtient le triangle `AC1C2` etc... On trace aussi le triangle `ABB1` semblable au triangle `ABC`. Puis, on recommence le même processus avec le triangle `ABB1` on obtient le triangle `AB1B2` etc..
Écrire un programme `Xcas` qui déssine la suite des `n` triangles :
`ACC1`, `AC1C2`,...`AC(n-1)Cn`,`ABB1`, `AB1B2`,...`AB(n-1)Bn`

### 9.2.1 Avec un programme iteratif

    //a partir d'un triangle ABC on trace son semblable sur
    //AC etc...n fois, on trace aussi le semblable du triangle ABC
    // sur AB etc...(aussi n fois).
    spirale2(A,B,C,n):={
    local k,t,B0,C0,L;
    L:=triangle(A,B,C);
    k:=longueur(A,C)/longueur(A,B);
    t:=angle(A,B,C);
    B0:=B;
    C0:=C;
    for (j:=1;j<=n;j++){
     B:=C;
     C:=similitude(A,k,t,B);
     L:=L,triangle(A,B,C);
    };
    B:=B0;
    C:=C0;
    for (j:=1;j<=n;j++){
     C:=B;
     B:=similitude(A,1/k,-t,C);
     L:=L,triangle(A,B,C);
    }
    retourne L;
    }:;

On clique sur 3 points `ABC` puis on tape :
`spirale2(A,B,C,5)`
On obtient la suite de 11 triangles :
pour faire le même dessin mais sans repasser sur le même trait, on tape :

    //meme dessin que spirale2(A,B,C,n) mais sans repasser sur le meme trait
    spirales2(A,B,C,n):={
    local k,t,B0,C0,L,j;
    L:=triangle(A,B,C);
    k:=longueur(A,C)/longueur(A,B);
    t:=angle(A,B,C);
    B0:=B;
    C0:=C;
    for (j:=1;j<=n;j++){
     B:=C;
     C:=similitude(A,k,t,B);
     L:=L,segment(B,C),segment(A,C);
     };
    B:=B0;
    C:=C0;
    for (j:=1;j<=n;j++){
     C:=B;
     B:=similitude(A,1/k,-t,C);
     L:=L,segment(B,C),segment(A,B);
     };
     retourne L;
    }:;

### 9.2.2 Avec un programme récursif

Cette fois on a une seule façon de voir le dessin récursif : `spiralers2(A,B,C,0)` c’est le triangle(A,B,C) si n>0, `spiralers2(A,B,C,n)` est formé des segments ACn et C(n-1)Cn, de `spiraler1s(A,B,C,n-1)` puis dessegments ABn et B(n-1)Bn.
On tape :

    //meme dessin que spirale2(A,B,C,n) mais en recursif
    //cette fois on a une seule facon de voir le dessin
    //(analogue a spiraler1s)
    //et sans repasser sur le meme trait
    //spiralers2(A,B,C,0)=triangle(A,B,C) si n>0,
    //spiralers2(A,B,C,n)=segments AN et MN et spiraler1s(A,B,C,n-1)
    //et segments AQ et PQ (M=C(n-1),N=Cn,P=B(n-1),Q=Bn)
    spiralers2(A,B,C,n):={
    local k,t,M,N,P,Q,L;
    k:=longueur(A,C)/longueur(A,B);
    t:=angle(A,B,C);
    if (n>0) {
     M:=similitude(A,k^n,n*t,B);
     N:=similitude(A,k,t,M);
     L:=segment(M,N),segment(A,N);
     L:=L,spiralers2(A,B,C,n-1);
     P:=similitude(A,1/k^n,-n*t,C);
     Q:=similitude(A,1/k,-t,P);
     L:=L,segment(P,Q),segment(A,Q);
       } else
     L:=triangle(A,B,C);
     retourne L;}
    :;

Remarques Ainsi on a :
`spiralers2(A,B,C,5)= spiralers(A,B,C,5);spiralers(A,C,B,5);`
On peut aussi rajouter un paramètre `s` supplémentaire qui donnera le sens de la spirale par rapport au signe de `t:=angle(A,B,C)` : `s=1` si la spirale tourne dans le même sens que les points `A,B,C` et `s=-1` sinon.
On tape :

    //spiraler2s(A,B,C,1,3);spiraler2s(A,B,C,-1,3)
    //equivalent a spiralers2(A,B,C,3)
    //s= sens de la spirale par rapport au signe
    // de l'angle oriente (AB,AC)
    spiraler2s(A,B,C,s,n):={
     local k,t,L;
     if (s==1) {
      k:=longueur(A,C)/longueur(A,B);
     } else{
      k:=longueur(A,B)/longueur(A,C);
     }
     t:=angle(A,B,C);
     if (n>0) {
       L:=triangle(A,B,C);
       B:=similitude(A,k,s*t,B);
       C:=similitude(A,k,s*t,C);
       L:=L,spiraler2s(A,B,C,s,n-1);
     } else {
       L:=triangle(A,B,C);
     }
     retourne L;
    }:;

On clique sur 3 points `ABC` (triangle `ABC` direct) puis on tape :
`spiraler2s(A,B,C,1,5);spiraler2s(A,B,C,-1,5)`
On obtient la suite de 11 triangles.

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