### 6.37.7 Développement de Padé: pade

pade a 4 arguments

- une expression,
- le nom de la variable utilisée,
- un entier n ou un polynôme N,
- un entier p.

pade renvoie une fraction rationnelle P/Q (avec le degré de P<p) qui a, au voisinage de 0, le même développement de Taylor à l’ordre n que l’expression, ou qui est égal à l’expression modulo xn+1 (resp modulo N).
On tape :

pade(exp(x),x,5,3)

Ou on tape :

pade(exp(x),x,x`^`6,3)

On obtient :

(3*x`^`2+24*x+60)/(-x`^`3+9*x`^`2-36*x+60)

On vérifie en tapant :

taylor((3*x`^`2+24*x+60)/(-x`^`3+9*x`^`2-36*x+60))

On obtient :

1+x+1/2*x`^`2+1/6*x`^`3+1/24*x`^`4+1/120*x`^`5+x`^`6*order_size(x)

On reconnait le développement de Taylor à l’ordre 5 de exp(x) au voisinage de 0.
On tape :

pade((x`^`15+x+1)/(x`^`12+1),x,12,3)

Ou on tape :

pade((x`^`15+x+1)/(x`^`12+1),x,x`^`13,3)

On obtient :

x+1

On tape :

pade((x`^`15+x+1)/(x`^`12+1),x,14,4)

Ou on tape :

pade((x`^`15+x+1)/(x`^`12+1),x,x`^`15,4)

On obtient :

(-2*x`^`3-1)/(-x`^`11+x`^`10-x`^`9+x`^`8-x`^`7+x`^`6-x`^`5+x`^`4- x`^`3-x`^`2+x-1)

On vérifie en tapant :

series(ans(),x=0,15)

On obtient :

1+x-x`^`12-x`^`13+2x`^`15+x`^`16*order_size(x)

puis en tapant :

series((x`^`15+x+1)/(x`^`12+1),x=0,15)

On obtient :

1+x-x`^`12-x`^`13+x`^`15+x`^`16*order_size(x)

Les deux expressions ont même développement de Taylor à l’ordre 14 au voisinage de 0.