### 6.7.30 Symbole de Legendre : legendre_symbol

Lorsque n est premier, on définit le symbole de Legendre de a noté (a/n) par :

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
a
n
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ | = | ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ |
0 | si a=0 modn
1 | si a ≠ 0 modn et si a=b2 modn
−1 | si a ≠ 0 modn et si a ≠ b2 modn

Quelques propriétés

- Si n est premier :

  a |
  n−1
  2
  | = | ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
  a
  n
  | ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ | modn

- ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
  p
  q
  | ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ | . | ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
  q
  p
  | ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  | = |
  (−1) |
  p−1
  2
  | .(−1) |
  q−1
  2
  | si p et q sont impairs et positifs
  ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
  2
  p
  | ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  | = |
  (−1) |
  p2−1
  8
  ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
  −1
  p
  | ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  | = |
  (−1) |
  p−1
  2

legendre_symbol a deux paramètres a et n et renvoie le symbole de Legendre (a/n).
On tape :

legendre_symbol(26,17)

On obtient :

1

On tape :

legendre_symbol(27,17)

On obtient :

-1

On tape :

legendre_symbol(34,17)

On obtient :

0