### 8.4.4 Probabilité que X égale k lorsque X ∈ N eg B in(n,p) : negbinomial

La loi binomiale négative est une distribution de probabilité discrète. Elle dépend de 2 paramètres : un entier n (le nombre de succès attendus) et un réel p de ]0,1[ (la probabilité d’un succés).
On la note N eg B in(n,p).
Elle permet de décrire la situation suivante : on fait une suite de tirages indépendants (avec pour chaque tirage, la probabilité p d’avoir un succès) jusqu’à obtenir n succès. La variable aléatoire représentant le nombre d’échecs qu’il a fallut avant d’avoir n succès, suit alors une loi binomiale négative.
Cette loi est aussi connue sous le nom de loi de Pascal en l’honneur de Blaise Pascal et de loi de Polya, en l’honneur de George Pólya.
negbinomial(n,p,k)=comb(n+k−1,k)*pn*(1−p)k pour k=0,1,2.. La loi se généralise pour deux paramètres r et p, où r peut prendre des valeurs réelles strictement positives. On a alors :
negbinomial(r,p)= Γ(r+k)/k! Γ(r) pr qk
Remarque
Si on définit comb(n,k) pour n<0 par comb(n,k)=n*(n-1)*..*(n-k-1)/k!, alors Si X ∈ N eg B in(n,p) (n ∈ ℕ et p ∈ [0;1]) alors Proba(X=k)=pn*(p-1)k*comb(-n,k) ce qui justifie le nom de loi binomiale négative et qui facilite le calcul de l’espérance (égale à n(1−p)/p) et de la variance (égale à n(1−p)/p2).
On tape :

negbinomial(10,12,0.4)

On obtient :

0.0670901607617

On tape :

negbinomial(4,2,0.5)

On obtient :

0.15625

On tape :

negbinomial(1,2,0.4)

On obtient 0.62*0.4 soit:

0.144