### 6.29.19 Résultant de deux polynômes : resultant

resultant a comme arguments deux polynômes.
resultant renvoie le résultant des deux polynômes.
Le résultant est le déterminant de la matrice S de Sylvester.
Pour les deux polynômes A(x)=∑i=0i=n aixi et B(x)=∑i=0i=mbixi, la matrice S de Sylvester est une matrice carrée de dimensiom m+n dont les m premières lignes sont composées à partir des coefficients de A(x) :

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
s00=an | s01=an−1 | ⋯ | s0n)=a0 | 0 | ⋯ | 0
s10=0 | s11=an | ⋯ | s1n=a1 | s1(n+1)=a0 | ⋯ | 0
⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋱ | ⋮ | ⋱ | ⋮
s(m−1)0=0 | s(m−1)1=0 | ⋯ | s(m−1)n=am−1 | s(m−1)(n+1)=am−2 | ⋯ | a0
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

et les n lignes suivantes sont composées de la même façon à partir des coefficients de B(x) :

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
sm0=bm | sm1=bm−1 | ⋯ | smm=b0 | 0 | ⋯ | 0
⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋱ | ⋮ | ⋱ | ⋮
s(m+n−1)0=0 | s(m+n−1)1=0 | ⋯ | s(m+n−1)m=bn−1 | bn−2 | ⋯ | b0
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

On tape :

resultant(x`^`3-p*x+q,3*x`^`2-p,x)

On obtient :

-4*p`^`3--27*q`^`2

On cherche si il existe 2 polynômes U(x)=x+β (de degré 1) et V(x)=x2+x+є (de degré 2) pour que U(x)*(x3−p*x+q)+V(x)*(3*x2−p)=1
On doit donc résoudre un système linéaire de 5 équations à 5 inconnues qui sont α,...δ,η (Attention ! є=1e−10).
On tape :
symb2poly((alpha*x+beta)*(x`^`3-p*x+q)+(gamma*x`^`2+delta*x+
eta)*(3*x`^`2-p),x)
On obtient :
poly1[alpha+3*gamma,beta+3*delta,-alpha*p-p*gamma+3*eta,
alpha*q-beta*p-p*delta,beta*q-p*eta]
La matrice A de ce système est donc :

A= | ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
1 | 0 | 3 | 0 | 0
0 | 1 | 0 | 3 | 0
−p | 0 | −p | 0 | 3
q | −p | 0 | −p | 0
0 | q | 0 | 0 | −p
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

la matrice S de Sylvester est la transposée de A:

S= | ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
1 | 0 | −p | q | 0
0 | 1 | 0 | −p | q
3 | 0 | −p | 0 | 0
0 | 3 | 0 | −p | 0
0 | 0 | 3 | 0 | −p
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

On a det(A)=det(S)=-4*p`^`3+27*q`^`2
En fait on résout UP+VQ=C avec C quelconque tel que deg(C)<deg(P)+deg(Q) i.e. on cherche U et V tel que deg(U)<deg(Q) et deg(V)<deg(P) (inegalites strictes) vérifiant UP+VQ=1. Lorsque le système est de Cramer, il y a une solution unique et ca correspond en arithmétique à P et Q premiers entre eux (et réciproquement).
Donc si det(A)=det(S) est non nul, U et V existent et sont uniques donc les 2 polynômes x3−p*x+q et 3*x2−p sont premiers entre eux et réciproquement si les 2 polynômes x3−p*x+q et 3*x2−p sont premiers entre eux U et V tel que deg(U)<deg(Q) et deg(V)<deg(P) existent et sont uniques donc det(A)=det(S) est non nul.
Donc si ce déterminant est nul les 2 polynômes x3−p*x+q et 3*x2−p ne sont pas premiers entre eux.
Remarque
On a : discriminant(P)=resultant(P,P’)/lcoeff(P).

Un exemple d’utilisation du résultant
Soient 2 points fixes F1 et F2 et un point variable A sur le cercle de centre F1 et de rayon 2a. On veut trouver l’équation cartésienne du lieu des points M intersection de F1A et de la médiatrice de F2A : on a MF1+MF2=MF1+MA=F1A=2a donc M décrit une ellipse de foyers F1 et F2 et de grand axe 2a.
Choisisons comme repère orthonormé celui de centre F1 et d’axe Ox porté par le vecteur F1F2. On a :
A= (2acos(θ);2asin(θ)) où θ est l’angle (Ox,OA). On choisit comme paramètre t=tan(θ/2) pour que les coordonnées de A soient une fonction rationnelle du paramètre t. On a donc :
A=(ax;ay)=(2a1−t2/1+t2;2a2t/1+t2)
On pose F1F2=2c et on note I le milieu de AF2. On a :
F2=(2c,0) et
I=(c+ax/2;ay/2)=(c+a1−t2/1+t2;a2t1−t2/1+t2)
IM est perpendiculaire à AF2 donc M=(x;y) vérifie l’équation eq1=0 avec :
eq1:=(x−ix)*(ax−2*c)+(y−iy)*ay
M=(x;y) est sur F1A donc M vérifie l’équation eq2=0 avec :
eq2:=y/x−ay/ax
On a :
resultant(eq1,eq2,t) est un polynôme eq3 en x et y, eq3 est indépendant de t et il existe des polynômes en t, U et V tels que : U(t)*eq1+V(t)*eq2=eq3.
On tape :
ax:=2*a*(1-t`^`2)/(1+t`^`2);ay:=2*a*2*t/(1+t`^`2);
ix:=(ax+2*c)/2; iy:=(ay/2)
eq1:=(x-ix)*(ax-2*c)+(y-iy)*ay
eq2:=y/x-ay/ax
factor(resultant(eq1,eq2,t))
On obtient comme résultant :
-(64·(x`^`2+y`^`2)·(x`^`2·a`^`2-x`^`2·c`^`2+-2·x·a`^`2·c+2·x·c`^`3-a`^`4+
2·a`^`2·c`^`2+a`^`2· y`^`2-c`^`4))
Le facteur -64·(x`^`2+y`^`2) ne s’annule jamais donc l’équation du lieu est :

x2a2−x2c2+−2xa2c+2xc3−a4+2a2c2+a2y2−c4=0

En prenant l’origine du repère en O milieu de F1F2, on retrouve l’équation cartésienne de l’ellipse. Pour faire ce changement d’origine, on a F1M=F1O+OM, donc on tape :
normal(subst(x`^`2·a`^`2-x`^`2·c`^`2+-2· x·a`^`2·c+2·x·c`^`3-a`^`4+
2·a`^`2·c`^`2+a`^`2·y`^`2-c`^`4,[x,y]=[c+X,Y]))
On obtient :
-c`^`2*X`^`2+c`^`2*a`^`2+X`^`2*a`^`2-a`^`4+a`^`2*Y`^`2
ou encore si on pose b2=a2−c2
normal(subst(-c`^`2*X`^`2+c`^`2*a`^`2+X`^`2*a`^`2-a`^`4+a`^`2*Y`^`2,
c`^`2=a`^`2-b`^`2))
On obtient :
-a`^`2*b`^`2+a`^`2*Y`^`2+b`^`2*X`^`2
c’est à dire après division par a2b2, M vérifie l’équation :

X2
a2
| + |
Y2
b2
| =1

Un autre exemple d’utilisation du résultant
Soient 2 points fixes F1 et F2 et un point variable A sur le cercle de centre F1 et de rayon 2a. On veut trouver l’équation cartésienne de l’enveloppe de la médiatrice D de F2A (on sait que la médiatrice de F2A est tangente à l’ellipse de foyers F1 et F2 et de grand axe 2a).
Choisisons comme repère orthonormé celui de centre F1 et d’axe Ox porté par le vecteur F1F2. On a :
A= (2acos(θ);2asin(θ)) où θ est l’angle (Ox,OA). On choisit comme paramètre t=tan(θ/2) pour que les coordonnées de A soient une fonction rationnelle du paramètre t. On a donc :
A=(ax;ay)=(2a1−t2/1+t2;2a2t/1+t2)
On pose F1F2=2c et on note I le milieu de AF2. On a :
F2=(2c,0) et
I=(c+ax/2;ay/2)=(c+a1−t2/1+t2;a2t1−t2/1+t2)
D est perpendiculaire à AF2 donc D a pour équation : eq1=0 avec :
eq1:=(x−ix)*(ax−2*c)+(y−iy)*ay
L’enveloppe de D est donc le lieu de M intersection de D et de D′ d’équation eq2=0 avec eq2:=diff(eq1,t).
On tape :
ax:=2*a*(1-t`^`2)/(1+t`^`2);ay:=2*a*2*t/(1+t`^`2);
ix:=(ax+2*c)/2; iy:=(ay/2)
eq1:=normal((x-ix)*(ax-2*c)+(y-iy)*ay)
eq2:=normal(diff(eq1,t))
factor(resultant(eq1,eq2,t))
On obtient comme résultant :
(-(64· a`^`2))·(x`^`2+y`^`2)·(x`^`2·a`^`2-x`^`2·c`^`2+-2·x·a`^`2·c+2·x·c`^`3-
a`^`4+2·a`^`2·c`^`2+a`^`2·y`^`2-c`^`4)
Le facteur -64·(x`^`2+y`^`2) ne s’annule jamais donc l’équation du lieu est :
x2a2−x2c2+−2xa2c+2xc3−a4+2a2c2+a2y2−c4=0
En prenant l’origine du repère en O milieu de F1F2, on retrouve comme précédemment l’équation cartésienne de l’ellipse :

X2
a2
| + |
Y2
b2
| =1